数学篇 - 概率之联合概率、条件概率、边缘概率和贝叶斯法则(笔记)

2020-09-13

Daily 数学

公式符号解释: P(A|B).是B已知下的A的条件概率

联合概率（Joint Probability）

各种解释描述,便于理解:

联合概率指的是包含多个条件且所有条件同时成立的概率，记作P(X=a,Y=b)或P(a,b)，有的书上也习惯记作P(ab)，但是这种记法个人不太习惯，所以下文采用以逗号分隔的记法。一定要注意是所有条件同时成立！
两个以上事件的交集的概率

图 12

例子：从一副扑克牌中抽出一张红色的4的概率为P(红4) = ²⁄₅₂ = 1/26。（一副扑克牌有52张牌，想抽到的是红心4和方块4）。

条件概率（Conditional Probability）

条件概率是已知某（些）事件已经发生的前提下，另一（些）事件发生的概率。已知事件B已经发生时，事件A发生的条件概率写作P(A|B)。
条件概率表示在条件Y=b成立的情况下，X=a的概率，记作P(X=a|Y=b)或P(a|b)，

例子：已知我们抽到了一张红色的牌，这张牌是4的概率为P(4|红) = ²⁄₂₆ = ¹⁄₁₃ （一副扑克牌有52张牌，26张红色的，26张黑色的。现在因为我们已经抽到了一张红色的牌，我们知道我们抽取的范围是26张牌，因此第一个除数是26）。

联合概率与条件概率的区别

解释1:

P(AB) 联合概率：池子没变。

P(A|B) 条件概率：池子变小了！！！！！！

所以如果用条件概率来算联合概率的话：池子不能小，给我乘回去！！！！

P(A|B) x P(B) = P(AB)

解释2:

当我们想要知道抽到一张红色的4的扑克牌的概率（红色和4的联合概率）时，我想让你想象一下，把所有52张牌面朝下放置，然后随机选中一张。在这52张牌中，有2张是红色的，同时数字是4（红心4和方块4）。所以联合概率是2/52 = 1/26。

而当我们想要知道已知抽中的牌是红色的时候，抽中数字是4的牌的概率，即条件概率P(4|红)时，我想让你再想象一下有52张牌。不过，在随机抽取一张牌之前，你给所有扑克牌排了个序，选中了所有26张红色的牌。现在你把这26张牌面朝下放置，然后随机选择一张牌。同样，这些红色的牌中有两张数字为4，所以条件概率是2/26 = ¹⁄₁₃

公式描述

图 13

边缘概率

解释:

对于离散型随机变量，我们可以通过通过联合概率 P(x, y) 在 y 上求和，就可以得到 P(x)。对于连续型随机变量，我们可以通过联合概率 P(x, y) 在 y 上的积分(无限求和)，推导出概率 P(x)。这个时候，我们称 P(x) 为边缘概率。
边缘概率是与联合概率对应的，P(X=a)或P(Y=b)，这类仅与单个随机变量有关的概率称为边缘概率